De la forme canonique aux autres formes - Exemple 1

On souhaite déterminer la forme développée puis factorisée (si elle existe) de la fonction polynôme du second degré  \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\)  par  `f(x) = 2(x-3)^2 - 8` .

Forme développée 
Il suffit de développer l'expression donnée.
Pour tout `x` dans `\mathbb R` , on a
`f(x) = 2(x-3)^2 - 8 = 2(x^2-6x + 9) - 8 = 2x^2-12x + 18 - 8 = 2x^2-12x + 10`
On obtient bien la forme développée de la fonction  `f` avec  `a = 2` ,  `b= -12`  et  `c=10` .

Forme factorisée 
En factorisant la forme canonique.
Pour tout `x` dans `\mathbb R` , on a
`f(x) = 2(x-3)^2 - 8 = 2((x-3)^2 - 4) = 2((x-3)^2 - 2^2)`
On reconnaît ici une identité remarquable du type \(\text{A}^2-\text{B}^2\) avec \(\text A\) et  \(\text B\) réels. On en déduit
`f(x)= 2(x-3 - 2)(x-3+2)= 2(x-5)(x-1)` .
On obtient la forme factorisée de la fonction `f` avec `a = 2` ,  `x_1 = 5`  et `x_2 = 1` .

Remarque
On aurait pu résoudre l'équation `f(x)=0` pour déterminer les racines `x_1` et `x_2` puis utiliser la définition de la forme factorisée.